??=4???^2+??+1≡3模5

发现，表达式的值不覆盖所有剩余类，而是周期性地取{1，2，3}的子集。

结论：在模5意义下，表达式的值形成周期性序列。

3.一般??的情况：

我们关注??^2+??+1模??是否恒为非零或覆盖所有剩余类。

对于??=7，可以发现它的值可能为{1，2，3，4，5，6}，但永远不会是0。

这种情况与??^2+??+1是否可以被模??整除，即是否有解密切相关。

“由此，我们可以得到以下两个现象。第一：如果??^2+??+1≡0模??没有解，则其值在模??下形成一个循环序列，且永不为零；第二：如果有解，??^2+??+1在模??下表现为具有根的多项式，其值会表现出不同的分布规律。”

“完了？”听得一头雾水的黄先发问。

“嗯。”

脸上现出一丝解脱的黄先发发现陆兮在点了点头后，却丝毫没有停下来的迹象。

“所以，??^2+??+1在模??的整数环中表现出的周期性和根的分布反映了递推式的数学特性，其实还能为数论中的质数生成问题提供研究工具。比如，伪随机数生成器和质数筛选。”

听到伪随机数生成器和质数筛选的胡文亮的眼神又亮了一下，发现不对的黄先发慌忙想要捂住他的嘴巴，可是胡文亮的下一句话已经脱口而出。

“能说说伪随机数生成器和质数筛选吗？”

“当然。”

已经理顺了思路的陆兮现在是有求必应。

“??^2+??+1在模??的周期性行为，可以被用作生成伪随机序列。通过调整模数??和初始值??_0得到不同的循环长度和分布特性。”

“模??的周期性可以用于研究类似表达式生成质数的可能性。如果表达式在模??下的根的分布有某种规律，可能为构造质数生成算法提供启发。”

“说完了？”

“综上所述，有限域中的行为常常能揭示整数域中的深层规律，为质数的分布模式提供理论支撑。”

已经听到晕头转向的黄先发听陆兮的话里总算来了综述两个字，不由得长长吐了一口气。

我真傻，真的。

但知道陆兮擅长解题，不知道她还擅长总结题目背后的数学思想。

一道被他拿出来耍乐子用的八九年级的练习题，硬是让她总结出来了题目背后的递推关系和质数生成规律。

辅导老师都没有这么能说的。

胡思乱想着，本以为终于结束的陆兮式数学课堂的黄先发准备拿回去草稿纸，不料陆兮忽然又来了一句。

“其实这道题背后不仅仅只有递推构造和质数生成。”

黄先发抬头，看到陆兮容光焕发，神采飞扬，眼瞅着这一次是不听完，走不了了，干脆一咬牙，正襟危坐回去。

一副还有什么，一并倾泻过来的大义凛然英勇就义的表情。

“我想了一下，这道题其实还能延伸到多项式的质数性问题，模算术和周期性，代数数论中的几何意义，质数分布渐近分析等等。”

“就拿其中的多项式质数性问题来说吧，这道题完全可以作为经典例子来讨论一下巴赫猜想。”

……

这下好了，让她说，她说到巴赫猜想去了。

这可是巴赫猜想，猜想啊，她能说到什么时候？